Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit ???

Dieses Thema im Forum "Smalltalk" wurde erstellt von mkl, 30. Juni 2003.

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  1. mkl

    mkl Kbyte

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    Hallo,

    es ist mal wieder Zeit, ein heißes Thema zu starten.

    Folgende Frage: Sicherlich kennt ihr alle diese Sendung, wo man zwishcen drei Toren auswählen kann. Hinter einem befindet sich ein Auto, hinter dem anderen ein z.B. Schaf.

    Der Kandidat darf jetzt ein Tor auswählen.
    Frage 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er das Tor mit dem Auto erwischt ?

    Eines der beiden anderen Tore wird geöffnet, dahinter kommt ein Schaf zum Vorschein. Der Kandidat erhält jetzt die Chance, seine Wahl erneut zu treffen. Er kann bei seinem Tor bleiben, oder er kann es wechseln.
    Frage 2: Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, daß er das Auto wählt ?

    Bin mal gespannt auf Eure Meinungen :-)

    Und tschüx
     
  2. simDos

    simDos Kbyte

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    Soweit sind deine ausfuehrungen alle korrekt... aber einen punkt hast du nicht ganz klar herausgestellt:

    Nachdem der showmaster eine NICHT-autotuer eliminiert hat, ohne dem kandidaten zu sagen, was sich unter seiner gewaehlten tuer verbirgt, verbleiben also zwei moeglichkeiten:

    entweder bleibt der kandidat bei seiner wahl, oder er wechselt mit seiner auswahl auf die andere tuer.

    seine alte wahl hat die wahrscheinlichkeit 1/3 (Auto hinter tuer).
    die verbleibende tuer hat die wahrscheinlichkeit 2/3 (Auto hinter tuer). Erklaerung: durch die elimination der NICHT-autotuer wird deren wahrscheinlichlichkeit der NICHT gewaehlten tuer zugeschlagen. Und warum: der moderator MUSS ja eine ziegentuer oeffnen... wuerde er die autotuer oeffnen, waer es ja alles vorbei!

    also tut der kandidat gut daran, seine erste entscheidung zu revidieren, und die andere tuer zu waehlen - und damit seine gewinnchancen auf ein Auto hinter tuer zu verdoppeln!

    mfg smd
     
  3. mkl

    mkl Kbyte

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    345
    Hi,

    hättest Deine Antwort doch ruhig stehen lassen können. Es gibt viele, die Deiner Meinung sind und davon soll dieser Beitrag doch gerade leben ;-)

    Und tschüx
     
  4. Du hast angefangen :-D
    ok Schluß.
     
  5. Was meinste, wo ich das her habe ?
    (Ich kannte es aber auch schon)

    Mathematische Lösung:
    Nehmen wir an (ohne Beschränkung der Allgemeinheit), der Kandidat hat Tür A gewählt. Ist der Gewinn hinter A, dann ist der Wechsel schlecht. Dieses Ereignis tritt mit p=1/3 ein. Ist der Gewinn *nicht* hinter A, dann muß der Gewinn hinter B oder hinter C sein. Eine dieser beiden Türen wird geöffnet, und zwar die, hinter der der Gewinn _mit_Sicherheit_nicht_ ist. Dann (also *immer*, wenn der Gewinn *nicht* hinter der zunächst gewählten Tür ist), ist ein Wechsel gewinnbringend. Wahrscheinlichkeit: 2/3.
    Mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (Satz von Bayes) rechnet man das wie folgt:
    Der Kandidat hat zunächst Tür A gewählt und der Showmaster hat Tür B geöffnet. Wir wollen die Wahrsch. berechnen, daß sich der hinter C befindet. Bezeichnen wir das Ereignis "Preis ist hinter Tür C" mit C und das Öffnen von Tür B mit b. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit C=1, wenn b eingetreten ist, also

    P(b|C=1)*P(C=1)
    P(C=1|b)=-------------------------------------
    P(b|C=1)*P(C=1) + P(b|C<>1)*P(C<>1)

    Die ex ante Wahrscheinlichkeiten sind: P(C=1)=1/3, P(C<>1)=2/3, weil es ja drei Türen sind.
    P(b|C=1)=1, da der Kandidat A wählte. Dann kann der Showmaster nur noch Tür B öffnen, wenn der Preis hinter C ist.
    P(b|C<>1)=1/4. Wenn der Preis nämlich nicht hinter C ist, ist er hinter A oder hinter B mit gleicher Wahrscheinlichkeit (je 1/2). Wenn der Preis hinter B ist, wird diese Tür nicht geöffnet, also Wahrscheinlichkeit null. Wenn der Preis hinter A ist, öffnet der Showmaster B oder C mit gleicher Wahrscheinlichkeit von je 1/2. Formal also 1/2 * 0 + 1/2 * 1/2 = 1/4.
    Einsetzen in P(C=1)|b) ergibt 2/3. Ein Wechsel ist also vorteilhaft. Daß es nicht egal ist, ob man wechselt oder nicht, kann man leicht durch eine gedankliche Erweiterung des Spieles sehen:
    Stell wir uns vor, es seien nicht drei Türen, sondern 1000. Wir wählen eine aus (es gibt einen Preis und 999 Nieten). Sodann öffnet der Showmaster 998 Türen, hinter denen der Preis mit Sicherheit *nicht* ist. Sollte man dann immer noch nicht wechseln wollen?
     
  6. Mathe ist sehr exact, daher:

    Seien A, B und C die 3 Tore, hinter Tor A sei der Gewinn (G), hinter den Toren B und C sei nichts (N).

    a) betrachte die Strategie "nicht wechseln":
    ? mit p = 1/3 wählt der Kandidat A und bleibt bei A (=G)
    ? mit p = 1/3 wählt der Kandidat B und bleibt bei B (=N)
    ? mit p = 1/3 wählt der Kandidat C und bleibt bei C (=N)

    d.h. die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn ist 1/3:
    p(G) = 1/3
    p(N) = 2/3

    b) betrachte die Strategie "in jedem Fall wechseln":

    ? mit p = 1/3 wählt der Kandidat A, sieht B / C und wechselt zu C / B (=N)
    ? mit p = 1/3 wählt der Kandidat B, sieht C und wechselt zu A (=G)
    ? mit p = 1/3 wählt der Kandidat C, sieht B und wechselt zu A (=G)

    d.h. die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn ist 2/3:
    p(G) = 2/3
    p(N) = 1/3

    c) betrachte die allgemeine Strategie "mit der Wahrscheinlichkeit q wechseln":

    ? mit p = 1/3 wählt der Kandidat A, sieht B / C und wechselt mit p = q zu C / B (=N)
    ? mit p = 1/3 wählt der Kandidat B, sieht C und wechselt mit p = q zu A (=G)
    ? mit p = 1/3 wählt der Kandidat C, sieht B und wechselt mit p = q zu A (=G)

    d.h. die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn ist:
    p(G) = 1/3 * (1-q) + 1/3 * q + 1/3 * q = 1/3 (1 + q)
    p(N) = 1/3 * q + 1/3 * (1-q) + 1/3 * (1-q) = 1/3 (2 - q)

    ==> Maximum für p(G) ergibt sich für q = 1 (Fall b): p(G) = 2/3)
    ==> Minimum für p(G) ergibt sich für q = 0 (Fall a): p(G) = 1/3)
    ==> für q = 1/2 ("egal, ob wechseln oder nicht") ergibt sich p(G) = 1/2
     
  7. c62718hris

    c62718hris Megabyte

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  8. Viele Leute bestehen auf die Lösung 1/2, da am Ende noch zwei Tore übrig bleiben, zwischen denen man die Wahl hat. Diese Lösung ist aber falsch, da mit dem Öffnen eines Ziegentores durch den Showmaster eine zusätzliche Information gegeben ist. Seine Wahl des Tores hängt ja von der ursprünglichen Wahl des Kandidaten ab.

    Bei der ersten Torauswahl hat der Kandidat eine Trefferchance von 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto in einem der beiden anderen Tore ist, ist also 2/3. Der Showmaster verrät dann, welches der beiden Tore es wäre, indem er ein falsches eliminiert.

    Anders ausgedrückt: In der Endsituation gibt es zwei Tore zur Auswahl, von denen eins eine Gewinnchance von 1/3 hat. Das andere hat also 2/3.
     
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